1. 第5节 子群

这部分内容旨在将我们从抽象的群定义，过渡到更具体、更便于书写的数学语言。在定义群的时候，我们使用了一个非常通用的符号 * 来表示二元运算。这个符号的优点是普适，能代表任何满足群公理的运算。但它的缺点也很明显：书写繁琐，且不够直观。

1. 从通用符号 * 到习惯符号 + 和 ·：
   • 背景：在数学中，我们最熟悉的两种运算是加法和乘法。为了让群论的表达更简洁、更符合直觉，数学家们倾向于借用这两种我们早已习惯的符号。
   • 具体做法：不再写 $a * b$，而是根据运算的性质，写成 $a+b$ 或者 $ab$。
   • 加法记号 +：当运算满足交换律时，即 $a+b = b+a$ 对于所有元素$a, b$都成立时，我们通常使用加法记号。这样的群被称为阿贝尔群或交换群。例如，整数加法群 $\langle\mathbb{Z}, +\rangle$ 就是一个典型的例子。如果一个运算不满足交换律，却用了加法记号，这在数学家看来是“反直觉”的，会引起困惑。
   • 乘法记号 · 或并置：当运算不一定满足交换律时（可能交换，也可能不交换），我们统一使用乘法记号。这是一种更“安全”的记号，因为它不预设交换律成立。通常，我们会省略乘法点 ·，直接写成 $ab$，这叫做“并置”。例如，矩阵乘法通常不满足交换律，所以我们会写成 $AB$ 而不是 $A+B$。
2. 单位元的记号：
   • 与运算符号相对应，单位元的记号也随之改变。
   • 加法单位元：在使用加法记号的群中，单位元通常记作 $0$。这个 $0$ 不一定是我们平常理解的数字零，它仅仅是满足 $a+0 = 0+a = a$ 的那个特殊元素。例如，在偶数加法群 $\{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ 中，单位元就是数字 $0$。但在另一个由函数组成的群里，单位元可能是一个零函数。
   • 乘法单位元：在使用乘法记号的群中，单位元通常记作 $1$。同样，这个 $1$ 不一定是数字一。它只是满足 $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ 的元素。例如，在可逆矩阵构成的乘法群中，单位元是单位矩阵 $I$，而不是数字 $1$。
   • 通用单位元符号 e：为了避免混淆（比如当群的元素本身就是数字0或1时），或者在讨论一般性的群而没有特指运算是加法还是乘法时，我们使用一个中性的符号 $e$ 来表示单位元。$e$ 是德语 "Einheit"（单位）的首字母。有时也用 $u$ (unit)。这是最通用、最不会引起误解的记号。

这是一个群的运算表，也称为凯莱表 (Cayley Table)。它完整地定义了一个包含三个元素的有限群的二元运算。

1. 表格结构：
   • 这是一个 $3 \times 3$ 的方阵，因为群中有3个元素。
   • 最左边的列和最上面的行，列出了群的所有元素：$\{1, a, b\}$。
   • 表格内部的每个单元格，显示的是对应“行元素”与“列元素”进行群运算的结果。运算的顺序通常约定为“(行元素) $\cdot$ (列元素)”。
2. 元素解读：
   • 集合：这个群的元素集合是 $G = \{1, a, b\}$。
   • 记号：这里使用了乘法记号。单位元被记作 $1$。
3. 运算规则解读：
   • 第一行/第一列：$1 \cdot 1 = 1$, $1 \cdot a = a$, $1 \cdot b = b$。以及 $a \cdot 1 = a$, $b \cdot 1 = b$。这验证了 $1$ 确实是单位元，任何元素与它运算都得到元素自身。
   • 其他运算：
   • $a \cdot a = b$ (第2行，第2列)
   • $a \cdot b = 1$ (第2行，第3列)
   • $b \cdot a = 1$ (第3行，第2列)
   • $b \cdot b = a$ (第3行，第3列)
4. 群公理验证（通过查表可以验证）：
   • 封闭性：表格中所有的运算结果 $\{1, a, b\}$ 都在群的集合内。
   • 单位元：元素 $1$ 存在，如上所述。
   • 逆元：
   • $1$ 的逆元是 $1$ (因为 $1 \cdot 1 = 1$)。
   • $a$ 的逆元是 $b$ (因为 $a \cdot b = 1$)。
   • $b$ 的逆元是 $a$ (因为 $b \cdot a = 1$)。每个元素都有逆元。
   • 结合性：这个需要多步验证，例如，我们检查 $(a \cdot a) \cdot b$ 是否等于 $a \cdot (a \cdot b)$。
   • 左边：$(a \cdot a) \cdot b = b \cdot b = a$。
   • 右边：$a \cdot (a \cdot b) = a \cdot 1 = a$。
   • 两者相等。需要对所有组合进行验证，但这里我们可以相信它满足结合律。
5. 交换性：
   • 通过观察表格是否沿主对角线（从左上到右下）对称，可以判断群是否交换。
   • $a \cdot b = 1$ 且 $b \cdot a = 1$。
   • $a \cdot 1 = a$ 且 $1 \cdot a = a$。
   • $b \cdot 1 = b$ 且 $1 \cdot b = b$。
   • 由于对于所有元素，(行元素) $\cdot$ (列元素) = (列元素) $\cdot$ (行元素)，所以这个表格是对称的。因此，这个群是交换群（阿贝尔群）。

这个表格与表5.1描述的是同一个群结构，但使用了不同的记号。

1. 记号的变化：
   • 运算符号：从乘法记号（并置）变为了加法记号 +。这被允许是因为我们从表5.1的分析中已经知道这个群是交换的。
   • 单位元符号：从乘法单位元 $1$ 变为了加法单位元 $0$。
   • 元素符号：元素 $a$ 和 $b$ 保持不变，但它们的含义是在加法框架下。
2. 对应关系：
   • 表5.1的 $1$ $\leftrightarrow$ 表5.2的 $0$
   • 表5.1的 $a$ $\leftrightarrow$ 表5.2的 $a$
   • 表5.1的 $b$ $\leftrightarrow$ 表5.2的 $b$
3. 运算规则解读（与表5.1对比）：
   • $a \cdot a = b$ (表5.1) $\leftrightarrow$ $a + a = b$ (表5.2)。
   • $a \cdot b = 1$ (表5.1) $\leftrightarrow$ $a + b = 0$ (表5.2)。
   • $b \cdot b = a$ (表5.1) $\leftrightarrow$ $b + b = a$ (表5.2)。
   • 表格的结构完全相同，只是符号发生了系统性的替换。
4. 群公理（在加法记号下）：
   • 封闭性：所有结果 $\{0, a, b\}$ 都在集合内。
   • 单位元：元素 $0$ 存在，满足 $x+0=0+x=x$。
   • 逆元：
   • $0$ 的逆元是 $0$ (因为 $0+0=0$)。
   • $a$ 的逆元是 $b$ (因为 $a+b=0$)。
   • $b$ 的逆元是 $a$ (因为 $b+a=0$)。
   • 结合律与交换律也满足。

这部分内容继续深化和扩展群论的记号系统，引入了逆元和幂/倍数的标准化表示。

1. 逆元的记号：
   • 在之前的抽象定义中，元素 $a$ 的逆元可能被记作 $a^{\prime}$。这里宣布，这个通用的记号将被更具体的记号所取代。
   • 乘法逆元：在使用乘法记号的群中， $a$ 的逆元记作 $a^{-1}$。这完全模仿了实数中 $x$ 的倒数 $x^{-1}$ 的写法，因为它们都满足 $a \cdot a^{-1} = 1$ (这里的 $1$ 是乘法单位元)。
   • 加法逆元：在使用加法记号的群中， $a$ 的逆元记作 $-a$。这模仿了实数中 $x$ 的相反数 $-x$ 的写法，因为它们都满足 $a + (-a) = 0$ (这里的 $0$ 是加法单位元)。
2. 元素的幂（乘法记号）：
   • 正整数次幂：$a^n$ (其中 $n$ 是正整数) 被定义为 $n$ 个 $a$ 连乘，即 $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ times}}$。这与我们熟悉的指数定义一致。
   • 零次幂：$a^0$ 被定义为单位元 $e$。这是为了使指数律能够平滑地推广。
   • 负整数次幂：$a^{-n}$ (其中 $n$ 是正整数) 被定义为 $n$ 个 $a^{-1}$ 连乘，即 $a^{-n} = \underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n \text{ times}}$。这等价于 $(a^n)^{-1}$，即 $a^n$ 的逆元。
3. 指数律：
   • 最重要的指数律 $a^m a^n = a^{m+n}$ 在群中对于任意整数 $m, n \in \mathbb{Z}$ 都成立。
   • 书中通过一个例子 $a^{-2}a^5=a^3$ 来展示这是如何运作的。这个推导过程的核心是反复使用结合律以及 $a^{-1}a=e$ 和 $ea=a$ 这两个基本性质。
4. 元素的倍数（加法记号）：
   • 这部分是加法版本的“幂”。
   • 正整数倍：$na$ (其中 $n$ 是正整数) 被定义为 $n$ 个 $a$ 连加，即 $na = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{n \text{ times}}$。
   • 零倍：$0a$ 被定义为单位元 $0$。
   • 负整数倍：$-na$ (其中 $n$ 是正整数) 被定义为 $n$ 个 $-a$ 连加，即 $-na = \underbrace{(-a) + (-a) + \ldots + (-a)}_{n \text{ times}}$。这等价于 $n(-a)$。
5. 一个重要的警告：
   • 在表达式 $na$ 中，系数 $n$ 是一个来自整数集 $\mathbb{Z}$ 的计数器，它本身不是群 $G$ 的元素（除非 $G$ 恰好是整数群或包含整数的群）。
   • 例如，在 $\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\}$ 中，表达式 $2 \cdot 3$ 意味着 $3+3=2$。这里的 $2$ 是一个计数器，而元素 $3$ 和结果 $2$ 才是群的成员。如果恰好群中也有元素 $2$，比如 $2 \in \mathbb{Z}_4$，就可能产生混淆：表达式 $2 \cdot 3$ 究竟是指 $3+3$ 呢，还是指群中元素 $2$ 和 $3$ 的运算（如果定义了乘法）？
   • 相比之下，乘法记号 $a^n$ 就没有这种歧义。指数 $n$ 总是被理解为一个在群外部的计数器（整数），不会与群的元素混淆。这就是为什么作者更偏爱用乘法记号来介绍群论的原因之一。

这是一个非常基础但极其重要的定义。

1. 术语：群的阶 (Order of a Group)。
2. 定义：一个群 $G$ 的阶，就是这个群所包含的元素的总个数。
3. 记号：群 $G$ 的阶记作 $|G|$。这个记号与集合的基数（或称势，Cardinality）的记号 $|S|$ 是一样的。
4. 本质：群的阶衡量的就是群的“大小”或“规模”。
5. 分类：
   • 如果 $|G|$ 是一个有限的自然数，那么 $G$ 被称为有限群 (Finite Group)。
   • 如果 $|G|$ 是无限的，那么 $G$ 被称为无限群 (Infinite Group)。

这段话是在为子群的正式定义做铺垫，通过正反两个例子，强调了成为子群的核心条件，而不仅仅是集合上的包含关系。

1. 观察现象：我们经常会发现一些群“嵌套”在另一些群里面。
   • 正例：整数加法群 $\langle\mathbb{Z}, +\rangle$ 的所有元素（整数）都在有理数集合 $\mathbb{Q}$ 中，而有理数加法群 $\langle\mathbb{Q}, +\rangle$ 又都包含在实数加法群 $\langle\mathbb{R}, +\rangle$ 中。这是一个“大鱼吃小鱼”的嵌套结构：$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$。
2. 深入分析正例：为什么 $\langle\mathbb{Z}, +\rangle$ 可以被看作是 $\langle\mathbb{R}, +\rangle$ 的一部分？
   • 关键点：运算的一致性。
   • 取两个整数，比如 $2$ 和 $3$。
   • 在小群 $\langle\mathbb{Z}, +\rangle$ 中，它们的和是 $2+3=5$。
   • 将这两个整数看作是大群 $\langle\mathbb{R}, +\rangle$ 中的元素，它们的和依然是 $2+3=5$。
   • 运算结果完全相同。这意味着小群的运算规则，与大群用到这些相同元素时的运算规则，是完全兼容的。这个兼容的运算被称为“诱导运算”（Induced Operation），意思是大群的运算“遗传”给了小子集。
3. 引出反例：光有集合的包含关系是不够的。
   • 考虑正有理数乘法群 $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 和实数加法群 $\langle \mathbb{R}, + \rangle$。
   • 从集合的角度看，正有理数集 $\mathbb{Q}^+$ 无疑是实数集 $\mathbb{R}$ 的一个子集，即 $\mathbb{Q}^+ \subset \mathbb{R}$。
   • 但是，我们不能说 $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 是 $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ 的一部分。
4. 分析反例：为什么不行？
   • 关键点：运算的不一致性。
   • 取两个正有理数，比如 $2$ 和 $3$。
   • 在群 $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 中，对它们进行运算，是乘法，$2 \cdot 3 = 6$。
   • 将这两个数看作是群 $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ 中的元素，对它们进行运算，是加法，$2 + 3 = 5$。
   • 运算结果完全不同 ($6 \neq 5$)。小子集上的运算（乘法）与大群的运算（加法）是两种完全不同的规则。
5. 得出结论：
   • 要成为一个群在另一个群里的“一部分”（即子群），必须满足两个条件：
6. 集合条件：小群的元素集合必须是大群元素集合的子集。
7. 运算条件：小子集上的群运算，必须与大群的运算完全相同。换句话说，小子集必须“继承”大群的运算规则，这就是所谓的诱导运算。

这是子群 (Subgroup) 的正式定义，它将前面铺垫的思想进行了精确的概括。

1. 前提条件:
   • $G$ 是一个群。
   • $H$ 是 $G$ 的一个子集，即 $H \subseteq G$。
2. 核心要求 (两大部分):
   • 第一部分：封闭性 (Closure)
   • “$H$ 在 $G$ 的二元运算下是封闭的”。
   • 这意味着：对于任意两个从 $H$ 中取出的元素 $a$ 和 $b$ (即 $a \in H, b \in H$)，用 $G$ 的运算规则对它们进行计算，得到的结果 $a \cdot b$ 必须仍然在 $H$ 中 (即 $a \cdot b \in H$)。
   • 这一条保证了诱导运算在 $H$ 上是“自给自足”的，不会产生跑到 $H$ 外面的结果。
   • 第二部分：自身是群 (Self-Contained Group)
   • “$H$ 在由 $G$ 诱导的运算下本身也是一个群”。
   • 这意味着，集合 $H$ 配上从 $G$ 继承来的那个运算，必须满足群的所有三条公理：
3. $\mathscr{G}_1$ 结合律: 对于所有 $a,b,c \in H$，有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。
4. $\mathscr{G}_2$ 单位元: $H$ 中必须包含一个单位元 $e_H$，对于所有 $a \in H$，满足 $a \cdot e_H = e_H \cdot a = a$。
5. $\mathscr{G}_3$ 逆元: 对于每个 $a \in H$，在 $H$ 中必须存在其逆元 $a' \in H$，满足 $a \cdot a' = a' \cdot a = e_H$。
6. 定义的精炼: 实际上，定义中的“封闭性”是“自身是群”的内在要求之一。因为要成为一个群，其运算必须是封闭的。所以这个定义有点重复，但这样写是为了强调封闭性是首要的、最容易检查的条件。后续的定理会给出一个更简洁的判定方法。
7. 记号:
   • $H \leq G$ 或 $G \geq H$：表示“$H$ 是 $G$ 的一个子群”。这个符号 $\leq$ 包含了 $H$ 可能等于 $G$ 的情况。
   • $H < G$ 或 $G > H$：表示“$H$ 是 $G$ 的一个真子群”（Proper Subgroup），意思是 $H$ 是 $G$ 的子群，并且 $H$ 不等于 $G$ (即 $H$ 是 $G$ 的一个严格子集)。

这段话是对刚刚给出的子群定义的直接应用和总结，引出了两种特殊的、必然存在的子群。

1. 应用定义回顾例子:
   • 正例: $\langle\mathbb{Z},+\rangle < \langle\mathbb{R},+\rangle$。
   • 这里使用了真子群符号 $<$，因为整数群 $\mathbb{Z}$ 是实数群 $\mathbb{R}$ 的子群，并且 $\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个严格子集（例如 $\pi \in \mathbb{R}$ 但 $\pi \notin \mathbb{Z}$）。
   • 这再次确认了，集合是子集，并且运算是诱导的（都是加法）。
   • 反例: $\left\langle\mathbb{Q}^{+}, \cdot\right\rangle$ 不是 $\langle\mathbb{R},+\rangle$ 的子群。
   • 尽管 $\mathbb{Q}^+ \subset \mathbb{R}$，但它们的运算不同（一个是乘法，一个是加法）。这违反了子群定义中“运算必须是诱导的”这一根本要求。
2. 两种必然存在的子群:
   • 对于任何一个群 $G$，我们总能立刻找到至少两个（如果 $G$ 不止一个元素的话）子群。
   • 子群1：G 本身
   • $G$ 是 $G$ 的一个子集（任何集合都是其自身的子集）。
   • $G$ 的运算在 $G$ 上当然是封闭的。
   • $G$ 本身就是一个群。
   • 因此，$G$ 总是其自身的子群。即 $G \leq G$。
   • 子群2：只包含单位元的集合 $\{e\}$
   • 设 $H = \{e\}$。$H$ 是 $G$ 的一个子集。
   • 封闭性: $H$ 中唯一的运算是 $e \cdot e$。根据单位元的性质，$e \cdot e = e$。结果 $e$ 仍然在 $H$ 中。所以是封闭的。
   • 自身是群:
3. 结合律: $(e \cdot e) \cdot e = e \cdot e = e$ 和 $e \cdot (e \cdot e) = e \cdot e = e$。满足。
4. 单位元: $H$ 中有元素 $e$，它就是单位元。满足。
5. 逆元: $e$ 的逆元是它自身，因为 $e \cdot e = e$。这个逆元 $e$ 在 $H$ 中。满足。
   • 因此，$\{e\}$ 总是 $G$ 的一个子群。

这个定义为我们刚刚遇到的两种特殊子群以及其他所有子群正式命名，建立了一套分类体系。

这个定义引入了两对相对的术语，用来描述子群的“普通”程度。

1. 第一对：真 vs. 非真 (Proper vs. Improper)
   • 非真子群 (Improper Subgroup): 就是群 $G$ 本身。这个名字听起来有点奇怪，可以理解为“不是严格意义上更小的子群”。一个群只有一个非真子群。
   • 真子群 (Proper Subgroup): 除了 $G$ 本身以外的所有其他子群。一个真子群 $H$ 必须是 $G$ 的一个严格子集，即 $H \subset G$ 且 $H \neq G$。
2. 第二对：平凡 vs. 非平凡 (Trivial vs. Nontrivial)
   • 平凡子群 (Trivial Subgroup): 就是只包含单位元的子群 $\{e\}$。它被称为“平凡的”，因为它的结构最简单，没什么研究价值。一个群只有一个平凡子群。
   • 非平凡子群 (Nontrivial Subgroup): 除了 $\{e\}$ 以外的所有其他子群。一个非平凡子群至少包含两个元素（单位元和至少一个其他元素）。

这是一个来自线性代数的子群例子。

1. 大群 G 的定义:
   • $G = \mathbb{R}^n$。这是一个集合，其元素是所有 $n$ 维行向量，形式为 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中每个 $x_i$ 都是实数。
   • 运算是向量的分量加法 (component-wise addition)。例如，在 $\mathbb{R}^3$ 中，$(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)$。
   • 在这个运算下，$\mathbb{R}^n$ 构成一个阿贝尔群（交换群）。
   • 单位元: 零向量 $\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)$。
   • 逆元: 向量 $\mathbf{v} = (x_1, \dots, x_n)$ 的逆元是 $-\mathbf{v} = (-x_1, \dots, -x_n)$。
2. 子集 H 的定义:
   • $H$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中“第一个分量为0”的所有向量的子集。
   • $H = \{ (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1 = 0 \}$。
   • 所以 $H$ 中的元素形如 $(0, x_2, \dots, x_n)$。
3. 证明 H 是 G 的子群 (根据定义5.4):
   • H 是 G 的子集: 这由 $H$ 的定义保证。
   • H 在 G 的运算下是封闭的:
   • 取两个任意向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in H$。
   • $\mathbf{u} = (0, u_2, \dots, u_n)$
   • $\mathbf{v} = (0, v_2, \dots, v_n)$
   • 它们的和是 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (0+0, u_2+v_2, \dots, u_n+v_n) = (0, u_2+v_2, \dots, u_n+v_n)$。
   • 结果向量的第一个分量仍然是0，所以 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in H$。封闭性满足。
   • H 自身是一个群:
4. 结合律: 自动从 $\mathbb{R}^n$ 继承。
5. 单位元: $\mathbb{R}^n$ 的单位元是零向量 $\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)$。它的第一个分量是0，所以 $\mathbf{0} \in H$。H有单位元。
6. 逆元: 取任意向量 $\mathbf{u} = (0, u_2, \dots, u_n) \in H$。它在 $\mathbb{R}^n$ 中的逆元是 $-\mathbf{u} = (0, -u_2, \dots, -u_n)$。这个逆元向量的第一个分量也是0，所以 $-\mathbf{u} \in H$。H中每个元素都有逆元。
7. 结论: $H$ 满足子群的所有条件，因此它是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子群。

这里是两个关于乘法群的子群例子。

例子 5.7

1. 大群 G: $\langle \mathbb{R}^+, \cdot \rangle$，即所有正实数在乘法下构成的群。
   • 元素是 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x > 0$。
   • 运算是普通乘法。
   • 单位元: $1$。
   • 逆元: $x$ 的逆元是 $1/x$。
2. 子集 H: $\mathbb{Q}^+$，即所有正有理数的集合。
3. 证明 H 是 G 的子群:
   • 子集关系: 任何一个正有理数都是一个正实数，所以 $\mathbb{Q}^+ \subset \mathbb{R}^+$。
   • 封闭性: 任意两个正有理数 $a, b \in \mathbb{Q}^+$ 的乘积 $ab$ 仍然是一个正有理数。满足。
   • 自身是群:
4. 结合律: 自动从实数乘法继承。
5. 单位元: 大群的单位元 $1$ 是一个正有理数，所以 $1 \in \mathbb{Q}^+$。满足。
6. 逆元: 任意一个正有理数 $a = p/q$ (p,q为正整数) 的逆元是 $1/a = q/p$，这仍然是一个正有理数。满足。
7. 结论: $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 是 $\langle \mathbb{R}^+, \cdot \rangle$ 的一个子群。由于存在像 $\pi$ 这样的正实数不是有理数，所以 $\mathbb{Q}^+ \neq \mathbb{R}^+$，因此它是真子群，记作 $\mathbb{Q}^+ < \mathbb{R}^+$。

例子 5.8

1. 大群 G: $\langle \mathbb{C}^*, \cdot \rangle$，即所有非零复数在复数乘法下构成的群。
   • 元素是 $z \in \mathbb{C}$ 且 $z \neq 0$。
   • 运算是复数乘法。
   • 单位元: $1$ (即 $1+0i$)。
   • 逆元: $z$ 的逆元是 $1/z$。
2. 子集 H: $U_n$，即所有 $n$ 次单位根的集合。
   • $U_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \}$。
   • 这些元素是 $e^{i(2\pi k/n)}$，其中 $k=0, 1, \dots, n-1$。
3. 证明 H 是 G 的子群:
   • 子集关系: 所有的 $n$ 次单位根都是非零复数（因为它们的模长为1），所以 $U_n \subset \mathbb{C}^*$。
   • 封闭性: 取任意两个 $n$ 次单位根 $z_1, z_2 \in U_n$。这意味着 $z_1^n = 1$ 和 $z_2^n = 1$。
   • 它们的乘积是 $z_1 z_2$。我们来检查 $(z_1 z_2)^n$ 是否等于1。
   • $(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n$ (因为复数乘法是交换的)。
   • $= 1 \cdot 1 = 1$。
   • 所以乘积 $z_1 z_2$ 仍然是一个 $n$ 次单位根，即 $z_1 z_2 \in U_n$。封闭性满足。
   • 自身是群:
4. 结合律: 自动从复数乘法继承。
5. 单位元: 大群的单位元是 $1$。我们检查 $1$ 是否在 $U_n$ 中。因为 $1^n = 1$，所以 $1 \in U_n$。满足。
6. 逆元: 取任意一个 $n$ 次单位根 $z \in U_n$ (所以 $z^n=1$)。它的逆元是 $1/z$。我们检查 $1/z$ 是否也在 $U_n$ 中。
   • $(1/z)^n = 1/z^n = 1/1 = 1$。
   • 所以 $1/z$ 也是一个 $n$ 次单位根。满足。
7. 结论: $U_n$ 是 $\mathbb{C}^*$ 的一个子群。因为 $\mathbb{C}^*$ 是无限群，而 $U_n$ 是有限群（阶为 $n$），所以 $U_n$ 总是 $\mathbb{C}^*$ 的一个真子群。

这个例子通过对比两个阶同为4但结构不同的群，深入展示了子群结构是如何揭示群的本质差异的。

1. 背景: 群论的一个基本问题是分类。给定一个阶 $n$，有多少种本质不同（非同构）的群结构？对于 $n=4$，答案是只有两种。
   • 第一种：循环群 $\mathbb{Z}_4$。
   • 第二种：克莱因四元群 $V$。
2. 同构关系:
   • 书上指出，$\mathbb{Z}_4$ 与 $U_4 = \{1, i, -1, -i\}$ 在结构上是相同的（同构）。
   • $\mathbb{Z}_4$ 是加法群， $U_4$ 是乘法群。
   • 对应关系可以是：$0 \leftrightarrow 1$, $1 \leftrightarrow i$, $2 \leftrightarrow -1$, $3 \leftrightarrow -i$。
   • 例如，在 $\mathbb{Z}_4$ 中 $1+2=3$。在 $U_4$ 中对应的运算是 $i \cdot (-1) = -i$。结果也对应，说明了同构。
3. 子群结构分析：$\mathbb{Z}_4$ (见表5.10)
   • 群元素: $\{0, 1, 2, 3\}$。运算: 模4加法。
   • 平凡子群: $\{0\}$。
   • 非真子群: $\mathbb{Z}_4$ 本身。
   • 寻找其他子群:
   • 考虑 $\{0, 1\}$: $1+1=2 \notin \{0,1\}$。不封闭，不是子群。
   • 考虑 $\{0, 2\}$:
   • 封闭性: $0+0=0, 0+2=2, 2+0=2, 2+2=4\equiv0$。所有结果都在 $\{0,2\}$ 内。封闭。
   • 单位元: $0 \in \{0,2\}$。
   • 逆元: $0$的逆元是$0$，$2$的逆元是$2$ (因为 $2+2=0$)。都在集合内。
   • 所以 $\{0,2\}$ 是一个子群。
   • 考虑 $\{0, 3\}$: $3+3=6\equiv2 \notin \{0,3\}$。不封闭，不是子群。
   • 考虑 $\{0, 1, 2\}$: $1+2=3 \notin \{0,1,2\}$。不封闭，不是子群。
   • 结论: $\mathbb{Z}_4$ 只有一个非平凡真子群，就是 $\{0,2\}$。
4. 子群结构分析：V (克莱因四元群) (见表5.11)
   • 群元素: $\{e, a, b, c\}$。运算由表定义。
   • 平凡子群: $\{e\}$。
   • 非真子群: $V$ 本身。
   • 寻找其他子群:
   • 考虑 $\{e, a\}$:
   • 封闭性: $e e=e, e a=a, a e=a, a a=e$。所有结果都在 $\{e,a\}$ 内。封闭。
   • 单位元: $e \in \{e,a\}$。
   • 逆元: $e$的逆元是$e$, $a$的逆元是$a$。都在集合内。
   • 所以 $\{e,a\}$ 是一个子群。
   • 同理，可以验证 $\{e, b\}$ 也是一个子群 (因为 $b b=e$)。
   • 同理，可以验证 $\{e, c\}$ 也是一个子群 (因为 $c c=e$)。
   • 考虑 $\{e, a, b\}$: $ab=c \notin \{e,a,b\}$。不封闭，不是子群。
   • 结论: $V$ 有三个非平凡真子群，分别是 $\{e, a\}, \{e, b\}, \{e, c\}$。
5. 对比与意义:
   • $\mathbb{Z}_4$ 和 $V$ 的阶都是4。
   • 但它们的子群数量不同 ($\mathbb{Z}_4$ 有3个子群, $V$ 有5个子群)。
   • 它们的子群结构也不同 ($\mathbb{Z}_4$ 的子群是嵌套的 $\{0\} < \{0,2\} < \mathbb{Z}_4$, 而 $V$ 的三个2阶子群是平行的)。
   • 子群结构的不同，是证明这两个群是非同构的（本质上不同）的有力证据。因为同构会保持子群结构。

这是例子5.9中讨论的两个4阶群的凯莱表 (Cayley Table)。

表5.10：$\mathbb{Z}_4$

1. 群与运算:
   • 群: $\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}$。
   • 运算: +，表示模4加法。
2. 如何读表:
   • 行元素 + 列元素 = 单元格结果。
   • 例如，要计算 $2+3$，找到第2行（代表元素2）和第3列（代表元素3）的交叉点，结果是 $1$。因为 $2+3=5 \equiv 1 \pmod 4$。
3. 关键性质:
   • 交换性: 表格沿主对角线（从左上到右下）是对称的。例如，$1+2=3$ (第1行第2列)，$2+1=3$ (第2行第1列)。所以它是阿贝尔群。
   • 单位元: 0。因为第0行和第0列的元素与表头/表侧的元素顺序一致。
   • 逆元:
   • $0$的逆元是$0$ ($0+0=0$)。
   • $1$的逆元是$3$ ($1+3=0$)。
   • $2$的逆元是$2$ ($2+2=0$)。
   • $3$的逆元是$1$ ($3+1=0$)。
   • 结构特点: 这是一个循环群。元素1可以生成整个群：$1$, $1+1=2$, $1+1+1=3$, $1+1+1+1=0$。元素3也可以。

表5.11：V (克莱因四元群)

1. 群与运算:
   • 群: $V = \{e, a, b, c\}$。
   • 运算: · (并置)，由表格定义。
2. 如何读表:
   • 例如，要计算 $a \cdot b$，找到第a行和第b列的交叉点，结果是 $c$。
3. 关键性质:
   • 交换性: 表格也是对称的。例如，$a \cdot b=c$，$b \cdot a=c$。所以它也是阿贝尔群。
   • 单位元: $e$。
   • 逆元:
   • $e$的逆元是$e$ ($e e=e$)。
   • $a$的逆元是$a$ ($a a=e$)。
   • $b$的逆元是$b$ ($b b=e$)。
   • $c$的逆元是$c$ ($c c=e$)。
   • 结构特点: 这个群最显著的特点是：所有非单位元元素的逆元都是它自己。这导致它不是循环群。任何一个非单位元元素（如$a$）都只能生成一个2阶子群 $\{e, a\}$，无法生成整个群。

这部分内容分为两块：引入一种可视化工具——子群图，以及阐明子群与母群在单位元和逆元上的一致性。

第一部分：子群图 (Subgroup Diagram / Lattice of Subgroups)

1. 目的: 将一个群的所有子群以及它们之间的包含关系，用一张图清晰地展示出来。
2. 绘制规则:
   • 每个子群在图中表示为一个节点。
   • 如果 $H$ 是 $K$ 的子群 ($H \leq K$)，并且它们之间没有其他子群，那么从 $K$ 向 $H$ 画一条向下的线段。
   • “较大的”群（阶数更高）放在图的上方，“较小的”群放在下方。
   • 最顶端的节点是群 $G$ 自身（非真子群）。
   • 最底端的节点是平凡子群 $\{e\}$。
   • 这种图也叫哈斯图 (Hasse Diagram)。
3. 图5.12(a)：$\mathbb{Z}_4$的子群图
   • 根据例子5.9的分析，$\mathbb{Z}_4$ 有三个子群: $\mathbb{Z}_4$, $\{0,2\}$, $\{0\}$。
   • 关系: $\{0\} < \{0,2\} < \mathbb{Z}_4$。这是一个线性的包含关系。
   • 图示:
   • 顶部是 $\mathbb{Z}_4$。
   • 中间是 $\{0,2\}$。从 $\mathbb{Z}_4$ 向下连线到 $\{0,2\}$。
   • 底部是 $\{0\}$。从 $\{0,2\}$ 向下连线到 $\{0\}$。
   • 形状: 呈现一个简单的“链条”结构。
4. 图5.12(b)：$V$的子群图
   • 根据例子5.9的分析， $V$ 有五个子群: $V$, $\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$, $\{e\}$。
   • 关系:
   • $\{e\}$ 是 $\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$ 的子群。
   • $\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$ 都是 $V$ 的子群。
   • 但这三个2阶子群之间没有包含关系。
   • 图示:
   • 顶部是 $V$。
   • 中间一层有三个并列的节点：$\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$。从 $V$ 分别向这三个节点连线。
   • 底部是 $\{e\}$。从中间的三个节点分别向 $\{e\}$ 连线。
   • 形状: 呈现一个“钻石”或“菱形”结构。
5. 结论: 两张子群图的形状截然不同，再次直观地证明了 $\mathbb{Z}_4$ 和 $V$ 的结构是不同的。

第二部分：子群的单位元和逆元的一致性

1. 核心论点: 子群 $H$ 的单位元必定与母群 $G$ 的单位元是同一个元素。同样， $H$ 中一个元素的逆元也必定与它在 $G$ 中的逆元是同一个。
2. 单位元一致性的证明思路:
   • 设 $e_H$ 是子群 $H$ 的单位元， $e_G$ 是母群 $G$ 的单位元。我们要证明 $e_H = e_G$。
   • 取任意一个元素 $a \in H$。
   • 在 $H$ 中，根据单位元定义，有 $a \cdot e_H = a$。
   • 因为 $a$ 和 $e_H$ 也都是 $G$ 的元素，所以这个方程 $a \cdot x = a$ 也可以看作是在 $G$ 中。
   • 在群 $G$ 中，方程 $a \cdot x = a$ 有唯一的解，就是 $G$ 的单位元 $e_G$ (根据消去律)。
   • 既然 $e_H$ 是这个方程在 $H$ 中的解，而 $e_G$ 是这个方程在 $G$ 中的唯一解，那么必然有 $e_H = e_G$。
3. 逆元一致性的证明思路:
   • 设 $a \in H$。设 $a_H^{-1}$ 是 $a$ 在 $H$ 中的逆元， $a_G^{-1}$ 是 $a$ 在 $G$ 中的逆元。我们要证明 $a_H^{-1} = a_G^{-1}$。
   • 在 $H$ 中，根据逆元定义，有 $a \cdot a_H^{-1} = e_H$。我们已经证明了 $e_H=e_G$，所以 $a \cdot a_H^{-1} = e_G$。
   • 这个方程 $a \cdot x = e_G$ 也可以看作是在 $G$ 中。
   • 在群 $G$ 中，方程 $a \cdot x = e_G$ 有唯一的解，就是 $a$ 在 $G$ 中的逆元 $a_G^{-1}$。
   • 既然 $a_H^{-1}$ 是解，而 $a_G^{-1}$ 是唯一解，那么必然有 $a_H^{-1} = a_G^{-1}$。

这个例子将子群的概念应用到了微积分中的函数空间。

1. 大群 G 的定义:
   • $G = F$，集合是所有定义域为 $\mathbb{R}$、值域为 $\mathbb{R}$ 的函数。记作 $F = \{ f \mid f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \}$。
   • 运算是函数的逐点加法 (pointwise addition)。即对于两个函数 $f, g \in F$，它们的和函数 $(f+g)$ 定义为：对于任意 $x \in \mathbb{R}$，$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。
   • 在这个运算下，$F$ 构成一个阿贝尔群。
   • 单位元: 零函数 $\mathbf{0}(x)$，即对所有 $x$ 都满足 $\mathbf{0}(x)=0$ 的函数。因为 $(f+\mathbf{0})(x) = f(x)+\mathbf{0}(x) = f(x)+0=f(x)$。
   • 逆元: 函数 $f$ 的逆元是 $-f$，定义为 $(-f)(x) = -f(x)$。因为 $(f+(-f))(x) = f(x)+(-f(x)) = 0 = \mathbf{0}(x)$。
2. 子集 H 的定义:
   • $H = C(\mathbb{R})$，集合是 $F$ 中所有的连续函数。
3. 证明 H 是 G 的子群:
   • 这里作者没有严格按照定义来，而是直接验证了后面定理5.14将要给出的三个条件，这实际上是一种更直接的判定方法。
   • 条件1：封闭性
   • 原文：“连续函数之和是连续的”。
   • 这是微积分中的一个基本定理。如果 $f, g$ 都是连续函数，那么它们的和 $f+g$ 也必然是连续函数。
   • 这意味着，任取 $f, g \in H$，它们的和 $f+g$ 仍然在 $H$ 中。封闭性满足。
   • 条件2：包含单位元
   • 原文：“函数$f$（其中对于所有$x$，$f(x)=0$）是连续的并且是加法单位元”。
   • 大群 $F$ 的单位元是零函数 $\mathbf{0}(x)=0$。这是一个常数函数。
   • 常数函数是连续函数的基本类型之一。所以 $\mathbf{0}(x) \in H$。单位元条件满足。
   • 条件3：逆元封闭
   • 原文：“如果$f$是连续的，那么$-f$也是连续的”。
   • 这也是微积分的一个基本性质。一个连续函数乘以一个常数（这里是-1）后，仍然是连续函数。
   • 这意味着，对于任意 $f \in H$，它的逆元 $-f$ 仍然在 $H$ 中。逆元条件满足。
4. 结论: 所有三个条件都满足，因此由连续函数构成的子集 $C(\mathbb{R})$ 是所有实值函数的加法群 $F$ 的一个子群。

这个定理是判定子群最常用、最基础的工具，被称为“三步子群检验法”。

定理叙述

• 对象: 一个群 $G$ 和它的一个子集 $H$。
• 核心: $H$ 是 $G$ 的子群，与下面三个条件同时成立是等价的（“当且仅当”）。
• 三个条件:

1. 封闭性 (Closure): 任取 $a, b \in H$，它们的积 $ab$ 必须也在 $H$ 中。
2. 单位元 (Identity): 母群 $G$ 的单位元 $e$ 必须在 $H$ 中。
3. 逆元 (Inverse): 对于 $H$ 中的任意一个元素 $a$，它在母群 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 也必须在 $H$ 中。

证明解析

这个证明包含两个方向，因为是“当且仅当”的命题。

• 方向一 ("$\Rightarrow$"): 如果 $H$ 是子群，那么三个条件成立。
• 这部分是“显然的”，是把子群的定义（5.4）拆开来看。
• 由定义，$H$ 自身是一个群。
• 1. 任何群的运算都必须是封闭的，所以条件1成立。
• 2. $H$ 必须有单位元。在定理之前的论证已经说明，子群的单位元必须和母群的单位元 $e$ 是同一个。所以 $e \in H$，条件2成立。
• 3. $H$ 中每个元素 $a$ 都必须有逆元。这个逆元也必须和 $a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 是同一个。所以 $a^{-1} \in H$，条件3成立。
• 这个方向的证明是水到渠成的。

• 方向二 ("$\Leftarrow$"): 如果三个条件成立，那么 $H$ 是子群。
• 这是证明的关键部分。我们要证明，满足这三个条件的子集 $H$，就一定满足子群的定义（5.4）。
• 子群的定义要求: 1. H在G的运算下封闭；2. H自身是一个群。
• 定理的条件1 直接满足了子群定义的第一个要求。
• 现在我们只需证明 H自身是一个群。我们需要验证群的三大公理 $\mathscr{G}_1, \mathscr{G}_2, \mathscr{G}_3$ 对 $H$ 成立。
• $\mathscr{G}_2$ (单位元公理): 定理的条件2说 $e \in H$。这个 $e$ 就是 $G$ 的单位元，所以对于任何 $a \in H$，有 $ae=ea=a$。因此 $H$ 满足单位元公理。
• $\mathscr{G}_3$ (逆元公理): 定理的条件3说对于任何 $a \in H$，其逆元 $a^{-1}$ 也在 $H$ 中。因此 $H$ 满足逆元公理。
• $\mathscr{G}_1$ (结合律公理):
• 这是最巧妙的一步，也是所谓的“结合律自动继承”。
• 我们需要对任意 $a, b, c \in H$ 验证 $(ab)c = a(bc)$。
• 因为 $H$ 是 $G$ 的子集，所以 $a, b, c$ 也都是 $G$ 的元素。
• 在母群 $G$ 中，结合律是成立的，所以 $(ab)c = a(bc)$ 这个等式本来就对 $G$ 中所有元素成立。
• 因此，它对 $H$ 中的这几个特殊元素自然也成立。我们不需要为 $H$ 单独再证一遍。
• 结论: 既然 $H$ 满足了封闭性和群的三大公理，那么根据定义，$H$ 是 $G$ 的一个子群。

这两个例子是定理5.14（三步子群检验法）的直接应用。

例子 5.15 (可微函数)

1. 背景:
   • $G = F$: 所有实值函数的加法群。
   • $H$: $F$ 中所有可微函数的子集。
2. 应用三步检验法:
   • 条件1 (封闭性): 原文“可微函数之和是可微的”。这是微积分基本定理：如果 $f, g$ 可微，则 $(f+g)' = f' + g'$，所以 $f+g$ 也可微。通过。
   • 条件2 (单位元): 原文“常数函数0是可微的”。$G$ 的单位元是零函数 $\mathbf{0}(x)=0$。它的导数是 $\mathbf{0}'(x)=0$，所以它是可微的。通过。
   • 条件3 (逆元): 原文“如果$f$是可微的，那么$-f$也是可微的”。如果 $f$ 可微，则 $(-f)' = -f'$，所以 $-f$ 也可微。通过。
3. 结论: 根据定理5.14，可微函数集是所有实值函数加法群的一个子群。
   • 注意到，连续函数集是一个子群，可微函数集也是一个子群。并且，所有可微函数都必然是连续函数，所以可微函数子群还是连续函数子群的一个子群。这形成了一个子群链:

例子 5.16 (特殊线性群)

1. 背景:
   • $G = GL(n, \mathbb{C})$: 所有 $n \times n$ 可逆复数矩阵的乘法群 (General Linear Group)。
   • $H = T$: $G$ 中所有行列式为1的矩阵的子集。这个子群非常重要，通常记为 $SL(n, \mathbb{C})$ (Special Linear Group)。
2. 应用三步检验法:
   • 条件1 (封闭性):
   • 取任意两个矩阵 $A, B \in T$。这意味着 $\det(A)=1$ 且 $\det(B)=1$。
   • 它们的积是 $AB$。我们需要检查 $AB$ 是否在 $T$ 中，即检查 $\det(AB)$ 是否为1。
   • 利用行列式的关键性质 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$。
   • $\det(AB) = 1 \cdot 1 = 1$。
   • 所以 $AB \in T$。通过。
   • 条件2 (单位元):
   • $G$ 的单位元是单位矩阵 $I_n$。
   • $\det(I_n) = 1$。
   • 所以 $I_n \in T$。通过。
   • 条件3 (逆元):
   • 取任意矩阵 $A \in T$，所以 $\det(A)=1$。
   • $A$ 的逆元是 $A^{-1}$。我们需要检查 $A^{-1}$ 是否在 $T$ 中，即检查 $\det(A^{-1})$ 是否为1。
   • 利用性质 $A A^{-1} = I_n$。两边取行列式：$\det(A A^{-1}) = \det(I_n)$。
   • $\det(A) \det(A^{-1}) = 1$。
   • 因为我们已知 $\det(A)=1$，所以方程变为 $1 \cdot \det(A^{-1}) = 1$，即 $\det(A^{-1})=1$。
   • 所以 $A^{-1} \in T$。通过。
3. 结论: 根据定理5.14，所有行列式为1的 $n \times n$ 可逆复数矩阵构成了 $GL(n, \mathbb{C})$ 的一个子群。

这段话通过一个具体的例子，引出了一个非常重要的概念——由单个元素生成的子群。

1. 问题设定:
   • 母群: $G = \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, 2, ..., 11\}$，运算是模12加法。
   • 要求: 我们想找一个子群 $H$，这个子群 $H$ 必须包含元素 $3$。
   • 问题: 这样一个子群 $H$ 最小需要包含哪些元素？它最小能有多大？
2. 推理过程 (利用子群的必要条件):
   • 我们知道 $H$ 是一个子群，所以它必须满足子群的三个条件（定理5.14）。
   • 初始条件: 我们被告知 $3 \in H$。
   • 应用封闭性:
   • 因为 $3 \in H$，那么 $3+3$ 也必须在 $H$ 中。$3+3=6$，所以 $6 \in H$。
   • 现在我们知道 $3 \in H$ 且 $6 \in H$。那么 $6+3$ 也必须在 $H$ 中。$6+3=9$，所以 $9 \in H$。
   • 现在我们知道 $3, 6, 9 \in H$。那么 $9+3$ 也必须在 $H$ 中。$9+3=12 \equiv 0 \pmod{12}$，所以 $0 \in H$。
   • 我们继续检查：$0+3=3 \in H$ (回到了起点)。
   • 应用单位元条件:
   • 子群必须包含单位元。$\mathbb{Z}_{12}$ 的单位元是 $0$。我们的推理已经表明 $0$ 必须在 $H$ 中，这与子群的要求一致。
   • 应用逆元条件:
   • $H$ 中每个元素都必须有逆元。我们来看看目前集合 $\{0, 3, 6, 9\}$ 的情况。
   • $3$ 的逆元是多少？我们需要找到 $x$ 使得 $3+x \equiv 0 \pmod{12}$。$x=9$。我们已经推导出 $9 \in H$。满足。
   • $6$ 的逆元是多少？$6+x \equiv 0 \pmod{12}$。$x=6$。$6 \in H$。满足。
   • $9$ 的逆元是 $3$，$0$ 的逆元是 $0$。都满足。
3. 构建候选子集:
   • 通过上述推理，我们发现任何包含3的子群，都至少要包含集合 $H_{min} = \{0, 3, 6, 9\}$。
4. 验证候选子集:
   • 现在反过来，我们验证 $H = \{0, 3, 6, 9\}$ 本身是不是一个子群。
   • 封闭性: 任意两个元素相加，结果是否还在集合里？我们可以画一个小的凯莱表:
   • 从表中看到，所有结果都在 $\{0, 3, 6, 9\}$ 内。封闭性满足。
   • 单位元: $0 \in H$。满足。
   • 逆元: 从表中可看出，$0^{-1}=0, 3^{-1}=9, 6^{-1}=6, 9^{-1}=3$。所有逆元都在 $H$ 中。满足。
   • 因此，$H=\{0,3,6,9\}$ 确实是一个子群。
5. 最终结论:
   • 我们证明了任何包含3的子群必须包含 $\{0,3,6,9\}$。
   • 我们又证明了 $\{0,3,6,9\}$ 本身就是一个子群。
   • 因此，$\{0,3,6,9\}$ 就是包含3的最小子群。

这段内容将上一个例子的具体推理过程，推广到任意一个群 $G$ 和任意一个元素 $a \in G$。

1. 目标: 寻找包含任意元素 $a$ 的最小子群。
2. 选择记号: 为了普适性（因为不确定群是否交换），使用乘法记号。
3. 推理步骤 (模仿 $\mathbb{Z}_{12}$ 的例子):
   • 设 $H$ 是任何一个包含 $a$ 的子群 ($a \in H$)。
   • 正整数幂: 根据子群的封闭性（条件1 of Thm 5.14）：
   • $a \in H \implies a \cdot a = a^2 \in H$
   • $a, a^2 \in H \implies a \cdot a^2 = a^3 \in H$
   • ... 以此类推，所有正整数次幂 $a^n$ (for $n \in \mathbb{Z}^+$) 都必须在 $H$ 中。
   • 思考: 只包含正整数幂的集合 $\{a^1, a^2, a^3, ...\}$ 够了吗？作者指出，这个集合自身在乘法下是封闭的（因为 $a^m a^n = a^{m+n}$，m,n为正时m+n也为正），但它不一定满足子群的其他条件。
   • 逆元: 根据子群的逆元条件（条件3 of Thm 5.14）：
   • 既然 $a \in H$，那么它的逆元 $a^{-1}$ 也必须在 $H$ 中。
   • 既然 $a^{-1} \in H$，那么根据封闭性，$a^{-1}a^{-1}=a^{-2}$ 也必须在 $H$ 中。
   • ... 以此类推，所有负整数次幂 $a^{-m}$ (for $m \in \mathbb{Z}^+$) 都必须在 $H$ 中。
   • 单位元: 根据子群的单位元条件（条件2 of Thm 5.14）：
   • 单位元 $e$ 必须在 $H$ 中。我们记 $e = a^0$。
   • 综合结论: 把以上所有必须包含的元素汇总起来，任何包含 $a$ 的子群 $H$ 都必须包含形如 $a^n$ 的所有元素，其中指数 $n$ 可以是正整数、负整数和零。换句话说， $H$ 必须包含集合 $\{ \dots, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, \dots \} = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}$。
4. 一个重要提醒：幂不一定都不同
   • 在推理中，我们生成了无限个符号 $a^n$ ($n \in \mathbb{Z}$)。但这不代表它们对应无限个不同的群元素。
   • 例子: 在克莱因四元群 $V$ 中，取元素 $a$。
   • $a^1 = a$
   • $a^2 = e$ (根据表5.11)
   • $a^3 = a^2 \cdot a = e \cdot a = a$
   • $a^4 = (a^2)^2 = e^2 = e$
   • $a^0 = e$
   • $a^{-1}$ 是 $a$ 的逆元。从表5.11查到 $a \cdot a = e$，所以 $a$ 的逆元是它自己，即 $a^{-1} = a$。
   • $a^{-2} = (a^{-1})^2 = a^2 = e$。
   • 结果: 尽管我们取了所有的整数 $n$，但集合 $\{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ 实际上只包含两个不同的元素：$\{e, a\}$。

这个定理正式确立了由单个元素生成的集合的地位。

定理叙述

• 给定: 一个群 $G$ 和其中的一个元素 $a$。
• 构造一个集合: $H = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{ \dots, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, \dots \}$。
• 结论 (两部分):

1. $H$ 是一个子群: 这个集合 $H$ 本身满足子群的条件。
2. $H$ 是最小的: 它是包含元素 $a$ 的所有子群中最小的一个。换句话说，如果 $K$ 是任何一个包含 $a$ 的子群 ($a \in K$ 且 $K \leq G$)，那么必然有 $H \subseteq K$。

证明解析

• 第一部分：证明 $H$ 是一个子群
• 作者使用了“三步子群检验法”（定理5.14）来证明。
• 条件1 (封闭性):
• 取 $H$ 中任意两个元素。它们可以被写成 $a^r$ 和 $a^s$ 的形式，其中 $r, s$ 是整数。
• 它们的积是 $a^r a^s$。根据指数律，这等于 $a^{r+s}$。
• 因为 $r$ 和 $s$ 是整数，它们的和 $r+s$ 也是一个整数。
• 所以， $a^{r+s}$ 仍然是“$a$ 的某个整数次幂”的形式，因此 $a^{r+s} \in H$。
• 封闭性满足。
• 条件2 (单位元):
• $G$ 的单位元是 $e$。
• 根据幂的定义，$a^0 = e$。
• 因为 $0$ 是一个整数，所以 $a^0$ 属于集合 $H$。
• 单位元条件满足。
• 条件3 (逆元):
• 取 $H$ 中任意一个元素 $a^r$ (其中 $r$ 是整数)。
• 它在 $G$ 中的逆元是 $(a^r)^{-1} = a^{-r}$。
• 因为 $r$ 是整数，所以 $-r$ 也是整数。
• 因此，逆元 $a^{-r}$ 仍然是“$a$ 的某个整数次幂”的形式，所以 $a^{-r} \in H$。
• 逆元条件满足。
• 小结: $H$ 通过了三步检验，因此 $H \leq G$。

• 第二部分：证明 $H$ 是最小的
• 作者在这里说“在定理陈述之前的论证表明...”。他指的是我们刚刚在 1.3.1 节分析过的内容。
• 那里的论证是：假设 $K$ 是任何一个包含 $a$ 的子群。根据子群的定义， $K$ 必须对运算封闭，必须包含单位元和逆元。这直接导致了 $K$ 必须包含所有的 $a^n$ (for $n \in \mathbb{Z}$)。
• 换句话说，任何包含 $a$ 的子群 $K$ 都必须包含整个集合 $H$。
• 这正是“$H$ 是最小的”的定义。

这两个定义是紧密相连的，它们正式命名了我们刚刚详细讨论的概念。

定义 5.18：循环子群 (Cyclic Subgroup)

1. 对象: 一个群 $G$ 中的任意一个元素 $a$。
2. 核心: 我们在定理5.17中证明了集合 $\{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ 是一个子群。现在，我们给这个特殊的子群一个名字。
3. 名字: 由a生成的循环子群 (the cyclic subgroup generated by a)。
   • “生成” (generated): 体现了这个子群的所有元素都是从 $a$ 这一个“种子”衍生出来的。
   • “循环” (cyclic): 这个词暗示了元素的产生过程具有循环的特性。对于有限群， $a$ 的幂次会重复出现，形成一个循环。
4. 记号: $\langle a \rangle$。
   • 尖括号 $\langle \dots \rangle$ 在代数中通常表示“由...生成”。
   • 所以 $\langle a \rangle$ 的完整读法是“由 a 生成的（循环）子群”。
   • $\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$。

定义 5.19：生成元 (Generator) 和 循环群 (Cyclic Group)

这个定义将“生成”的概念从子群提升到了整个群。

1. 生成元:
   • 如果一个元素 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 恰好就是整个群 $G$ 本身，即 $\langle a \rangle = G$，那么我们就说：
   • “元素 $a$ 生成 $G$” (a generates G)。
   • “$a$ 是 $G$ 的一个生成元” (a is a generator of G)。
   • 本质: 生成元是一个非常强大的元素，仅靠它自己和它的幂，就能“遍历”群中的每一个元素。
2. 循环群:
   • 如果一个群 $G$ 拥有生成元（即，至少存在一个这样的元素 $a$ 能生成整个群），那么这个群 $G$ 就被称为循环群 (Cyclic Group)。
   • 注意: 循环群不要求每个元素都是生成元，只要找到一个就行。
   • 本质: 循环群是一种结构最简单的群，因为它的所有信息都“编码”在了一个生成元里。只要知道了生成元和群的阶，整个群的结构（凯莱表）就完全确定了。

这部分通过一系列具体的例子，来巩固循环子群、生成元和循环群的定义。

例子 5.20: $\mathbb{Z}_4$ vs $V$

• $\mathbb{Z}_4$:
• 结论: $\mathbb{Z}_4$ 是循环群。
• 原因: 我们能找到生成元。
• 检验1: $\langle 1 \rangle = \{n \cdot 1 \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{0,1,2,3\} = \mathbb{Z}_4$。所以 1 是生成元。
• 检验3: $\langle 3 \rangle = \{n \cdot 3 \pmod 4\} = \{0, 3, 6\equiv2, 9\equiv1\} = \{0,1,2,3\} = \mathbb{Z}_4$。所以 3 也是生成元。
• 检验2: $\langle 2 \rangle = \{n \cdot 2 \pmod 4\} = \{0, 2\}$。这不是整个群，所以 2 不是生成元。
• 检验0: $\langle 0 \rangle = \{0\}$。
• $V$:
• 结论: $V$ 不是循环群。
• 原因: 找不到生成元。
• $\langle a \rangle = \{e, a\}$
• $\langle b \rangle = \{e, b\}$
• $\langle c \rangle = \{e, c\}$
• $\langle e \rangle = \{e\}$
• 没有一个元素生成的子群等于 $V$。每个非单位元都只能生成一个2阶的真子群。

例子 5.21: $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}_n$

• $\mathbb{Z}$ (整数加法群):
• 结论: $\mathbb{Z}$ 是一个循环群。
• 生成元:
• $\langle 1 \rangle = \{n \cdot 1 \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} = \mathbb{Z}$。所以 1 是生成元。
• $\langle -1 \rangle = \{n \cdot (-1) \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{\dots, 2, 1, 0, -1, -2, \dots\} = \mathbb{Z}$。所以 -1 是生成元。
• 唯一性: 只有 1 和 -1 是生成元。任何其他整数 $k$ (如2) 生成的子群 $\langle k \rangle = k\mathbb{Z}$ 都只是 $\mathbb{Z}$ 的一个真子群。
• $\mathbb{Z}_n$ (模n加法群):
• 结论: 对于任何正整数 $n$，$\mathbb{Z}_n$ 都是循环群。
• 生成元:
• $1$ 永远是生成元 (因为 $1, 1+1, 1+1+1, \dots$ 会不重不漏地走遍所有元素最后回到0)。
• $n-1$ (也就是 $-1$) 永远是生成元 (相当于反向走一遍)。
• 其他生成元: 可能还有别的。一个重要的结论是：在 $\mathbb{Z}_n$ 中，元素 $k$ 是生成元当且仅当 $k$ 与 $n$ 互质 (即 $\text{gcd}(k,n)=1$)。

例子 5.22: $\mathbb{Z}$ 的子群

• 目标: 具体地看看 $\mathbb{Z}$ 中的一个循环子群 $\langle 3 \rangle$ 是什么。
• 推导: 根据定义，$\langle 3 \rangle = \{n \cdot 3 \mid n \in \mathbb{Z}\}$。
• 这包含了所有的正倍数 ($3, 6, 9, \dots$)，负倍数 ($-3, -6, -9, \dots$)，和零 ($0$)。
• 结论: $\langle 3 \rangle$ 就是所有3的整数倍的集合。
• 记号: 这个子群可以记作 $\langle 3 \rangle$ 或者更具描述性的 $3\mathbb{Z}$。
• 子群关系: 类似地，$\langle 6 \rangle = 6\mathbb{Z} = \{\dots, -6, 0, 6, 12, \dots\}$。由于每个6的倍数也都是3的倍数，所以 $6\mathbb{Z} \subset 3\mathbb{Z}$。因此 $6\mathbb{Z}$ 是 $3\mathbb{Z}$ 的一个真子群，即 $6\mathbb{Z} < 3\mathbb{Z}$。

例子 5.23: $U_n$ (n次单位根)

• 背景: $U_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1\}$，复数乘法群。
• 几何表示: 这些点在复平面的单位圆上，构成一个正n边形的顶点。
• 选取一个特殊元素: $\zeta = \cos(2\pi/n) + i\sin(2\pi/n) = e^{i2\pi/n}$。这是单位圆上从 $1$ 开始逆时针数第一个顶点。
• 几何解释: 复数乘法中，模长相乘，角度相加。
• $\zeta^2 = \zeta \cdot \zeta$: 模长还是1，角度变为 $2\pi/n + 2\pi/n = 4\pi/n$。这正好是第二个顶点。
• $\zeta^k$: 模长是1，角度是 $k \cdot (2\pi/n)$。这正好是第 $k$ 个顶点。
• 结论:
• 当 $k$ 从 $0, 1, 2, \dots, n-1$ 变化时，$\zeta^k$ 会不重不漏地落在 $U_n$ 的每一个元素上。
• 因此 $\langle \zeta \rangle = U_n$。
• 这意味着 $U_n$ 是一个循环群，而 $\zeta$ 是它的一个生成元。
• 与U的关系: 还有一个更大的群 $U = \{z \in \mathbb{C} \mid |z|=1\}$，即整个单位圆上的所有点构成的乘法群。$U_n$ 是 $U$ 的一个循环子群。$U$ 本身不是循环群。

这组练习要求我们应用子群检验法（定理5.14）来判断给定的子集是否构成子群。

练习1-6：判断是否为 $\langle \mathbb{C}, + \rangle$ 的子群

母群 $G = \langle \mathbb{C}, + \rangle$。运算是复数加法。单位元 $e=0$。元素 $z$ 的逆元是 $-z$。

1. H = $\mathbb{R}$ (实数集)
   • 封闭性: 两个实数之和仍是实数。通过。
   • 单位元: $0 \in \mathbb{R}$。通过。
   • 逆元: 一个实数 $x$ 的逆元是 $-x$，仍是实数。通过。
   • 结论: 是子群。
2. H = $\mathbb{Q}^+$ (正有理数集)
   • 封闭性: 两个正有理数之和仍是正有理数。通过。
   • 单位元: $0 \notin \mathbb{Q}^+$。不通过。
   • 结论: 不是子群。
3. H = $7\mathbb{Z}$ (7的整数倍集合)
   • 封闭性: $7k_1 + 7k_2 = 7(k_1+k_2)$。是7的倍数。通过。
   • 单位元: $0 = 7 \cdot 0 \in 7\mathbb{Z}$。通过。
   • 逆元: $7k$ 的逆元是 $-(7k) = 7(-k)$。是7的倍数。通过。
   • 结论: 是子群。
4. H = $i\mathbb{R}$ (纯虚数集，包含0)
   • 元素形如 $iy$，其中 $y \in \mathbb{R}$。
   • 封闭性: $iy_1 + iy_2 = i(y_1+y_2)$。$y_1+y_2$ 是实数，所以结果仍是纯虚数。通过。
   • 单位元: $0 = i \cdot 0 \in i\mathbb{R}$。通过。
   • 逆元: $iy$ 的逆元是 $-(iy) = i(-y)$。$-y$ 是实数，所以结果仍是纯虚数。通过。
   • 结论: 是子群。
5. H = $\pi\mathbb{Q}$ ($\pi$的有理倍数集)
   • 元素形如 $\pi q$，其中 $q \in \mathbb{Q}$。
   • 封闭性: $\pi q_1 + \pi q_2 = \pi(q_1+q_2)$。$q_1+q_2$ 是有理数，所以结果仍是 $\pi$ 的有理倍数。通过。
   • 单位元: $0 = \pi \cdot 0 \in \pi\mathbb{Q}$。通过。
   • 逆元: $\pi q$ 的逆元是 $-(\pi q) = \pi(-q)$。$-q$ 是有理数，所以结果仍在集合中。通过。
   • 结论: 是子群。
6. H = $\{\pi^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$
   • 集合为 $\{\dots, \pi^{-2}, \pi^{-1}, 1, \pi, \pi^2, \dots\}$。
   • 封闭性: $\pi^2 + \pi^3 = \pi^2(1+\pi)$。这个数通常不是 $\pi$ 的整数次幂。不通过。
   • 单位元: $0 \notin H$。不通过。
   • 结论: 不是子群。

练习7：判断是否为 $\langle \mathbb{C}^*, \cdot \rangle$ 的子群

母群 $G = \langle \mathbb{C}^*, \cdot \rangle$。运算是复数乘法。单位元 $e=1$。元素 $z$ 的逆元是 $1/z$。

1. H = $\mathbb{R}$: 包含 $0$，而 $0 \notin \mathbb{C}^*$。严格来说应该考虑 $\mathbb{R}^*$。
   • H = $\mathbb{R}^*$: 两个非零实数之积非零。封闭。单位元 $1 \in \mathbb{R}^*$。$x$ 的逆元 $1/x$ 仍是非零实数。是子群。
2. H = $\mathbb{Q}^+$: 两个正有理数之积仍是正有理数。封闭。单位元 $1 \in \mathbb{Q}^+$。$q$ 的逆元 $1/q$ 仍是正有理数。是子群。
3. H = $7\mathbb{Z}$: 包含 $0$，不是 $\mathbb{C}^*$ 的子集。即使去掉0，剩下的元素如 $7, 14$ 等，它们的乘积 $7 \cdot 14 = 98$ 仍在集合中，但 $7$ 的逆元 $1/7$ 不在 $7\mathbb{Z}$ 中。不是子群。
4. H = $i\mathbb{R}$: 包含 $0$。考虑 $i\mathbb{R}^*$ (非零纯虚数)。
   • 封闭性: $i y_1 \cdot i y_2 = -y_1 y_2$。结果是一个实数，不是纯虚数。不封闭。不是子群。
5. H = $\pi\mathbb{Q}$: 包含 $0$。考虑 $(\pi\mathbb{Q})^*$。
   • 封闭性: $\pi q_1 \cdot \pi q_2 = \pi^2 q_1 q_2$。这个结果不一定能写成 $\pi q_3$ 的形式。不封闭。不是子群。
6. H = $\{\pi^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$:
   • 封闭性: $\pi^m \cdot \pi^k = \pi^{m+k}$。$m+k$ 是整数，所以结果仍在集合中。通过。
   • 单位元: $1 = \pi^0 \in H$。通过。
   • 逆元: $\pi^n$ 的逆元是 $1/\pi^n = \pi^{-n}$。$-n$ 是整数，所以结果仍在集合中。通过。
   • 结论: 是子群。

这组练习的主题是在一般线性群 $GL(n, \mathbb{R})$ 中判定子群。

母群 $G = GL(n, \mathbb{R})$，运算是矩阵乘法，单位元是单位矩阵 $I_n$。

1. H = {A | det(A) = 2}
   • 封闭性: 设 $A, B \in H$, 则 $\det(A)=2, \det(B)=2$。那么 $\det(AB) = \det(A)\det(B) = 2 \cdot 2 = 4$。因为 $4 \neq 2$，所以 $AB \notin H$。不封闭。
   • 结论: 不是子群。
2. H = {对角线上没有零的对角矩阵}
   • 封闭性: 两个对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。其对角线元素是原来两个矩阵对角线元素的逐个乘积。因为原来对角线上没有零，所以乘积的对角线上也没有零。封闭。通过。
   • 单位元: $I_n$ 是对角矩阵，对角线元素都是1，没有零。$I_n \in H$。通过。
   • 逆元: 一个可逆对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵，对角线元素是原矩阵对角线元素的倒数。因为原矩阵对角线元素非零，其倒数也非零。逆元在H中。通过。
   • 结论: 是子群。
3. H = {对角线上没有零的上三角矩阵}
   • 封闭性: 两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。其对角线元素是原来两个矩阵对角线元素的逐个乘积。因为原来对角线上没有零，所以乘积的对角线上也没有零。封闭。通过。
   • 单位元: $I_n$ 是上三角矩阵，对角线上没有零。$I_n \in H$。通过。
   • 逆元: 一个可逆上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵，对角线元素是原矩阵对角线元素的倒数。逆元在H中。通过。
   • 结论: 是子群。
4. H = {A | det(A) = -1}
   • 封闭性: 设 $A, B \in H$, 则 $\det(A)=-1, \det(B)=-1$。那么 $\det(AB) = \det(A)\det(B) = (-1)(-1) = 1$。因为 $1 \neq -1$，所以 $AB \notin H$。不封闭。
   • 结论: 不是子群。
5. H = {A | det(A) = 1 或 det(A) = -1}
   • 封闭性: 设 $A, B \in H$。$\det(A)$ 和 $\det(B)$ 都在 $\{1, -1\}$ 中。那么 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 的可能结果是 $1\cdot1=1, 1\cdot(-1)=-1, (-1)\cdot1=-1, (-1)\cdot(-1)=1$。所有结果都在 $\{1, -1\}$ 中。封闭。通过。
   • 单位元: $\det(I_n) = 1$，所以 $I_n \in H$。通过。
   • 逆元: 设 $A \in H$。$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$。如果 $\det(A)=1$, $\det(A^{-1})=1$。如果 $\det(A)=-1$, $\det(A^{-1})=-1$。所以逆元的行列式也在 $\{1, -1\}$ 中。$A^{-1} \in H$。通过。
   • 结论: 是子群。这个群通常被称为正交群 $O(n)$，虽然定义不同，但所有正交矩阵的行列式都在这个集合里。
6. H = {A | $A^T A = I_n$} (正交矩阵集)
   • 封闭性: 设 $A, B \in H$, 则 $A^T A = I_n, B^T B = I_n$。我们要检查 $AB$ 是否在 $H$ 中，即检查 $(AB)^T (AB)$ 是否等于 $I_n$。
   • $(AB)^T (AB) = (B^T A^T) (AB) = B^T (A^T A) B = B^T (I_n) B = B^T B = I_n$。
   • 封闭。通过。
   • 单位元: $(I_n)^T I_n = I_n I_n = I_n$。所以 $I_n \in H$。通过。
   • 逆元: 设 $A \in H$, 则 $A^T A = I_n$。这直接说明 $A$ 的逆元就是 $A^T$。我们需要检查 $A^{-1}=A^T$ 是否也在 $H$ 中。即检查 $(A^T)^T (A^T)$ 是否等于 $I_n$。
   • $(A^T)^T (A^T) = A A^T$。我们需要证明 $A A^T = I_n$。从 $A^T A = I_n$ 两边右乘 $A^{-1}$ 得 $A^T = A^{-1}$。再两边左乘 $A$ 得 $A A^T = A A^{-1} = I_n$。
   • 逆元在H中。通过。
   • 结论: 是子群。这就是正交群 $O(n)$ 的定义。

这组练习在函数空间中展开，考察不同函数子集在加法和乘法下的子群性质。

• (a) 母群 $G_a = \langle F, + \rangle$。单位元是零函数 $\mathbf{0}(x)=0$。
• (b) 母群 $G_b = \langle \tilde{F}, \cdot \rangle$ (处处非零函数乘法群)。单位元是常数函数 $\mathbf{1}(x)=1$。

1. H = $\tilde{F}$ (处处非零函数)
   • (a) 加法: 不封闭。$f(x)=x^2+1$ 和 $g(x)=-1$ 都在 $\tilde{F}$ 中，但它们的和 $h(x)=x^2$ 在 $x=0$ 处为0，不在 $\tilde{F}$ 中。不是子群。
   • (b) 乘法: $\tilde{F}$ 是母群 $G_b$ 本身，所以是子群 (非真子群)。
2. H = {f in F | f(1)=0}
   • (a) 加法:
   • 封闭性: $f(1)=0, g(1)=0 \implies (f+g)(1) = f(1)+g(1)=0+0=0$。封闭。
   • 单位元: $\mathbf{0}(1)=0$。单位元在H中。
   • 逆元: $f(1)=0 \implies (-f)(1)=-f(1)=0$。逆元在H中。
   • 是子群。
   • (b) 乘法: 这个集合中的函数都在 $x=1$ 处取值为0，所以它们不属于 $\tilde{F}$。该问题无意义，或者说交集为空集，不是子群。
3. H = {f in $\tilde{F}$ | f(1)=1}
   • (a) 加法: 不封闭。$f(1)=1, g(1)=1 \implies (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2 \neq 1$。不是子群。
   • (b) 乘法:
   • 封闭性: $f(1)=1, g(1)=1 \implies (f \cdot g)(1) = f(1)g(1)=1\cdot1=1$。封闭。
   • 单位元: 母群单位元 $\mathbf{1}(x)=1$ 满足 $\mathbf{1}(1)=1$。单位元在H中。
   • 逆元: $f(1)=1 \implies (1/f)(1) = 1/f(1) = 1/1 = 1$。逆元在H中。
   • 是子群。
4. H = {f in $\tilde{F}$ | f(0)=1}
   • 这与练习16完全类似，只是把考察点从 $x=1$ 换到了 $x=0$。
   • (a) 加法: 不是子群。
   • (b) 乘法: 是子群。
5. H = {f in $\tilde{F}$ | f(0)=-1}
   • (a) 加法: 不封闭。$f(0)=-1, g(0)=-1 \implies (f+g)(0)=-2 \neq -1$。不是子群。
   • (b) 乘法: 不封闭。$f(0)=-1, g(0)=-1 \implies (f \cdot g)(0)=(-1)(-1)=1 \neq -1$。不是子群。
6. H = {所有常数函数}
   • (a) 加法:
   • 封闭性: $f(x)=c_1, g(x)=c_2 \implies (f+g)(x)=c_1+c_2$，仍是常数函数。封闭。
   • 单位元: $\mathbf{0}(x)=0$ 是常数函数。
   • 逆元: $f(x)=c$ 的逆元是 $-f(x)=-c$，仍是常数函数。
   • 是子群。 (这个子群同构于 $\langle\mathbb{R},+\rangle$)
   • (b) 乘法: 这个集合包含零函数 $\mathbf{0}(x)=0$，它不在母群 $\tilde{F}$ 中。所以严格来说应该考虑非零常数函数 $H' = \{f(x)=c \mid c \in \mathbb{R}^*\}$。
   • H':
   • 封闭性: $f(x)=c_1, g(x)=c_2 \implies (f \cdot g)(x)=c_1 c_2$，仍是非零常数函数。封闭。
   • 单位元: $\mathbf{1}(x)=1$ 是非零常数函数。
   • 逆元: $f(x)=c$ 的逆元是 $1/f(x)=1/c$，仍是非零常数函数。
   • 是子群。 (这个子群同构于 $\langle\mathbb{R}^*,\cdot\rangle$)